Analysis Beispiele

$f'' (x) = 4 x + \sin (x)$

Schritt 1

Die Funktion $f' (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x d x + \int \sin (x) d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x d x + \int \sin (x) d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \sin (x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \cos (x) + C$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \cos (x) + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

$2 x^{2} - \cos (x) + C$

Schritt 7

Die Funktion $f'$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f' (x) = 2 x^{2} - \cos (x) + C$

Schritt 8

Die Funktion $f (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x^{2} d x + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x^{2} d x + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \cos (x) d x + \int C d x$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\sin (x) + C) + \int C d x$

Schritt 14

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\sin (x) + C) + C x + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\sin (x) + C) + C x + C$

Schritt 15.2

Vereinfache.

$\frac{2 x^{3}}{3} - \sin (x) + C x + C$

Schritt 15.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{3} x^{3} - \sin (x) + C x + C$

Schritt 16

Die Funktion $f$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - \sin (x) + C x + C$