Analysis Beispiele

$x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$

Schritt 1

Schreibe $x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$ als Funktion.

$f (x) = x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{6} - \frac{1}{x^{6}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{6} d x + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Bringe $x^{6}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Schritt 7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{- 6} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 6}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $x^{- 5}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - (- \frac{x^{- 5}}{5} + C)$

Schritt 9.1.2

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - (- \frac{1}{5 x^{5}} + C)$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$\frac{1}{7} x^{7} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + 1 \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5 x^{5}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$