Analysis Beispiele

$\frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$3 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 \int {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C)$ als $3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C$ um.

$3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{\frac{1}{3}} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $9 x^{\frac{1}{3}} + C$