Analysis Beispiele

$\frac{6}{5} \cdot \sqrt[5]{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{6}{5} \cdot \sqrt[5]{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{6}{5} \cdot \sqrt[5]{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{6}{5} \cdot \sqrt[5]{x} d x$

Schritt 4

Da $\frac{6}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{6}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{6}{5} \int \sqrt[5]{x} d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6}{5} \int x^{\frac{1}{5}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{5}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{6}{5} (\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C)$ als $\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C$ um.

$\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{5}{6}$ .

$\frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 6} x^{\frac{6}{5}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{30}{5 \cdot 6} x^{\frac{6}{5}} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$\frac{30}{30} x^{\frac{6}{5}} + C$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{30}{30} x^{\frac{6}{5}} + C$

Schritt 7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 x^{\frac{6}{5}} + C$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $x^{\frac{6}{5}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{6}{5}} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \sqrt[5]{x}$ .

$F (x) =$ $x^{\frac{6}{5}} + C$