Analysis Beispiele

$\sec^{2} (10 x)$

Schritt 1

Schreibe $\sec^{2} (10 x)$ als Funktion.

$f (x) = \sec^{2} (10 x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sec^{2} (10 x) d x$

Schritt 4

Sei $u = 10 x$ . Dann ist $d u = 10 d x$ , folglich $\frac{1}{10} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 10 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $10 x$ .

$\frac{d}{d x} [10 x]$

Schritt 4.1.2

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{10} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sec^{2} (u)$ und $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{10} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{10} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 7

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$\frac{1}{10} (\tan (u) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{10} \tan (u) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $10 x$ .

$\frac{1}{10} \tan (10 x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sec^{2} (10 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{10} \tan (10 x) + C$