Analysis Beispiele

$\sin^{5} (x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin^{5} (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin^{5} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin^{5} (x) d x$

Schritt 4

Faktorisiere $\sin^{4} (x)$ aus.

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Schritt 5.2

Schreibe ${\sin (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Schritt 6

Schreibe $\sin^{2} (x)$ in $1 - \cos^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Schritt 7

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 7.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Schritt 9

Multipliziere ${(1 - u^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 9.1

Schreibe ${(1 - u^{2})}^{2}$ als $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ um.

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Schritt 9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Schritt 9.5

Bewege $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Schritt 9.6

Bewege $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 9.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 9.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 9.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 9.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Schritt 9.11

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 9.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Schritt 9.13

Addiere $2$ und $2$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 9.14

Subtrahiere $u^{2}$ von $- u^{2}$ .

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 9.15

Stelle $- 2 u^{2}$ und $u^{4}$ um.

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Schritt 9.16

Bewege $1$ .

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Schritt 12

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Schritt 14

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Schritt 15.2

Vereinfache.

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$