Analysis Beispiele

$\sqrt{1 + x}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{1 + x}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{1 + x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{1 + x} d x$

Schritt 4

Sei $u = 1 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 4.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} d u$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$\frac{2}{3} {(1 + x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{1 + x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(1 + x)}^{\frac{3}{2}} + C$