Analysis Beispiele

$e^{- \frac{x}{2}}$

Schritt 1

Schreibe $e^{- \frac{x}{2}}$ als Funktion.

$f (x) = e^{- \frac{x}{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int e^{- \frac{x}{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u = - \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{2} d x$ , folglich $- 2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = - \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 4.1.2

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int - e^{u} \cdot 2 d u$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int e^{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$- 2 e^{u} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 e^{- \frac{x}{2}} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$