Analysis Beispiele

$\cos^{3} (x)$

Schritt 1

Schreibe $\cos^{3} (x)$ als Funktion.

$f (x) = \cos^{3} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \cos^{3} (x) d x$

Schritt 4

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus.

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Schritt 5

Schreibe $\cos^{2} (x)$ in $1 - \sin^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Schritt 6

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 1 - u^{2} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$u + C - \int u^{2} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$