Analysis Beispiele

$\arctan (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Schreibe $\arctan (\frac{x}{2})$ als Funktion.

$f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \arctan (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \arctan (\frac{x}{2})$ und $d v = 1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int x \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{x^{2} + 4}$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{x \cdot 2}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)$

Schritt 7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 8

Sei $u = x^{2} + 4$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = x^{2} + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 8.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 8.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 11.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 11.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 11.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 11.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$

Schritt 13

Schreibe $\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$ als $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$ um.

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$