Analysis Beispiele

$\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sqrt[3]{x} d x + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{1}{3}} d x + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Schritt 7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$