Analysis Beispiele

$5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$

Schritt 1

Schreibe $5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$ als Funktion.

$f (x) = 5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 5 {(4 x - 3)}^{4} (4) d x$

Schritt 4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\int 20 {(4 x - 3)}^{4} d x$

Schritt 5

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $20$ aus dem Integral.

$20 \int {(4 x - 3)}^{4} d x$

Schritt 6

Sei $u = 4 x - 3$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 4 x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $4 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 6.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$20 \int u^{4} \frac{1}{4} d u$

Schritt 7

Kombiniere $u^{4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$20 \int \frac{u^{4}}{4} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$20 (\frac{1}{4} \int u^{4} d u)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $20$ .

$\frac{20}{4} \int u^{4} d u$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $4$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{4 \cdot 5}{4} \int u^{4} d u$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 5}{4 (1)} \int u^{4} d u$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1} \int u^{4} d u$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{1} \int u^{4} d u$

Schritt 9.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5 \int u^{4} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$5 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe $5 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ als $5 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$ um.

$5 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} u^{5} + C$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 11.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{5} u^{5} + C$

Schritt 11.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{5} + C$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $u^{5}$ mit $1$ .

$u^{5} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 3$ .

${(4 x - 3)}^{5} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$ .

$F (x) =$ ${(4 x - 3)}^{5} + C$