Analysis Beispiele

$4 \cos (8 x)$

Schritt 1

Schreibe $4 \cos (8 x)$ als Funktion.

$f (x) = 4 \cos (8 x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 \cos (8 x) d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \cos (8 x) d x$

Schritt 5

Sei $u = 8 x$ . Dann ist $d u = 8 d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 8 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 5.1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int \cos (u) \frac{1}{8} d u$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{8}$ .

$4 \int \frac{\cos (u)}{8} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{8} \int \cos (u) d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $4$ .

$\frac{4}{8} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (1)}{8} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \sin (u) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$\frac{1}{2} \sin (8 x) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 \cos (8 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \sin (8 x) + C$