Analysis Beispiele

$4 x^{5} - 5 x^{4}$

Schritt 1

Schreibe $4 x^{5} - 5 x^{4}$ als Funktion.

$f (x) = 4 x^{5} - 5 x^{4}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 x^{5} - 5 x^{4} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x^{5} d x + \int - 5 x^{4} d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{5} d x + \int - 5 x^{4} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$4 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 5 x^{4} d x$

Schritt 7

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 5 \int x^{4} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$4 (\frac{1}{6}) x^{6} - 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} x^{6} - 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{6} x^{6} - 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 9.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} x^{6} - 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 9.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} x^{6} - 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 9.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} x^{6} - 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} x^{6} + \frac{- 5}{5} x^{5} + C$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 9.2.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{2}{3} x^{6} + \frac{5 \cdot - 1}{5} x^{5} + C$

Schritt 9.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{2}{3} x^{6} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} x^{5} + C$

Schritt 9.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} x^{6} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} x^{5} + C$

Schritt 9.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} x^{6} + \frac{- 1}{1} x^{5} + C$

Schritt 9.2.4.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{2}{3} x^{6} - x^{5} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 x^{5} - 5 x^{4}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{6} - x^{5} + C$