Analysis Beispiele

$4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

Schritt 1

Schreibe $4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ als Funktion.

$f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

Schritt 5

Sei $u = 3 x^{4} + 3$ . Dann ist $d u = 12 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 3 x^{4} + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} + 3]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x^{3} + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $12 x^{3}$ und $0$ .

$12 x^{3}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int u^{9} \frac{1}{12} d u$

Schritt 6

Kombiniere $u^{9}$ und $\frac{1}{12}$ .

$4 \int \frac{u^{9}}{12} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{12}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{12} \int u^{9} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $4$ .

$\frac{4}{12} \int u^{9} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (1)}{12} \int u^{9} d u$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \int u^{9} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{9}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 10} u^{10} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$\frac{1}{30} u^{10} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$