Analysis Beispiele

$3 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Schreibe $3 x^{\frac{1}{2}}$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Schreibe $3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ als $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} + C$