Analysis Beispiele

$3 \sqrt{x} - x$

Schritt 1

Schreibe $3 \sqrt{x} - x$ als Funktion.

$f (x) = 3 \sqrt{x} - x$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} - x d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 \sqrt{x} d x + \int - x d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \sqrt{x} d x + \int - x d x$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - x d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - \int x d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 10.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3 \sqrt{x} - x$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$