Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{8}{x^{7}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{8}{x^{7}} d x$

Schritt 3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int \frac{1}{x^{7}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{7}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$8 \int {(x^{7})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{7})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int x^{7 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$8 \int x^{- 7} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 7}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{6} x^{- 6}$ .

$8 (- \frac{1}{6} x^{- 6} + C)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $x^{- 6}$ und $\frac{1}{6}$ .

$8 (- \frac{x^{- 6}}{6} + C)$

Schritt 6.1.2

Bringe $x^{- 6}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C)$

Schritt 6.2

Vereinfache.

$8 (- \frac{1}{6 x^{6}}) + C$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 \frac{1}{6 x^{6}} + C$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{6 x^{6}}$ .

$\frac{- 8}{6 x^{6}} + C$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $6$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 (- 4)}{6 x^{6}} + C$

Schritt 6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{6}$ heraus.

$\frac{2 (- 4)}{2 (3 x^{6})} + C$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (3 x^{6})} + C$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4}{3 x^{6}} + C$

Schritt 6.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{3 x^{6}} + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{8}{x^{7}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{3 x^{6}} + C$