Analysis Beispiele

$f (x) = e^{- x}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int e^{- x} d x$

Schritt 3

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - e^{u} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int e^{u} d u$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$- e^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- e^{- x} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = e^{- x}$ .

$F (x) =$ $- e^{- x} + C$