Analysis Beispiele

$\frac{4 x - 1}{4 x + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 x - 1$ und $g (x) = 4 x + 1$ .

$\frac{(4 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1] - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(4 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(4 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 x + 1) (4 + 0) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{(4 x + 1) \cdot 4 - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $4 x + 1$ .

$\frac{4 \cdot (4 x + 1) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (4 + \frac{d}{d x} [1])}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (4 + 0)}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) \cdot 4}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - 4 (4 x - 1)}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 1 - 4 (4 x - 1)}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 1 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 1}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 (4 x) + 4 \cdot 1 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $4 (4 x)$ von $4 (4 x)$ .

$\frac{4 \cdot 1 + 0 - 4 \cdot - 1}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Addiere $4 \cdot 1$ und $0$ .

$\frac{4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 - 4 \cdot - 1}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 + 4}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{8}{{(4 x + 1)}^{2}}$