Analysis Beispiele

$f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int e^{7 x} d x + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = 7 x$ . Dann ist $d u_{1} = 7 d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = 7 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 4.1.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Schritt 5

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Schritt 8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (3 x) d x$

Schritt 9

Sei $u_{2} = 3 x$ . Dann ist $d u_{2} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u_{2} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 9.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 10

Kombiniere $\sec^{2} (u_{2})$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{3} d u_{2}$

Schritt 11

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 (\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $5$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 13

Da die Ableitung von $\tan (u_{2})$ gleich $\sec^{2} (u_{2})$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u_{2})$ gleich $\tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} (\tan (u_{2}) + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

$\frac{1}{7} e^{u_{1}} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 15.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $7 x$ .

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$