Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} + p x$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3 x^{2} + p x d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x^{2} d x + \int p x d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{2} d x + \int p x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int p x d x$

Schritt 6

Da $p$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $p$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + p \int x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + p (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$3 (\frac{1}{3}) x^{3} + p \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{3} + p \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} x^{3} + p \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 x^{3} + p \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} + p \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2.4

Kombiniere $p$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + \frac{p}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2.5

Kombiniere $\frac{p}{2}$ und $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{p x^{2}}{2} + C$

$x^{3} + \frac{1}{2} p x^{2} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3 x^{2} + p x$ .

$F (x) =$ $x^{3} + \frac{1}{2} p x^{2} + C$