Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3

Stelle $2$ und $x^{2}$ um.

$\int \frac{x^{2} + 2}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Stelle $1$ und $x^{2}$ um.

$\int \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Dividiere $x^{2} + 2$ durch $x^{2} + 1$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									+	$1$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$x + C + \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 8.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x + C + \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C$ .

$x + C + \arctan (x) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$x + \arctan (x) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x + \arctan (x) + C$