Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{3 x^{2}} + \frac{5}{4 x^{3}} + \sqrt{x}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2}{3 x^{2}} + \frac{5}{4 x^{3}} + \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int x^{- 2} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 7

Da $\frac{5}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{5}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 8.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int x^{- 3} d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 10

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 12

Vereinfache.

$- \frac{2}{3 x} - \frac{5}{8 x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2}{3 x^{2}} + \frac{5}{4 x^{3}} + \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3 x} - \frac{5}{8 x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$