Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Schritt 3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Schritt 3.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$