Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{3 x}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{3 x} d x$

Schritt 3

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 3.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 4

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$