Analysis Beispiele

$\sqrt{9 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{9 - x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $x = 3 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 3 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \sin (t)$ an.

$\int \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6

Schreibe $9 \cos^{2} (t)$ als ${(3 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 5.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Schritt 5.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Schritt 5.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 5.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Schritt 6

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 7

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 12

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 12.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 12.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 12.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 13

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 15

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 16

Vereinfache.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 17.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 17.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Schritt 18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Schritt 18.3

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Schritt 18.4

Multipliziere $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

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Schritt 18.4.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 18.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

Schritt 19

Stelle die Terme um.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

Schritt 20

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$