Analysis Beispiele

$f (x) = (3 x - 5) (2 x + 4)$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (3 x - 5) (2 x + 4) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 3 x (2 x + 4) - 5 (2 x + 4) d x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 3 x (2 x) + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x + 4) d x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 3 x (2 x) + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

Schritt 3.4

Bewege $x$ .

$\int 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

Schritt 3.5

Bewege $x$ .

$\int 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 \cdot 4 x - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int 6 x \cdot x + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Schritt 3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 6 (x^{1} x) + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Schritt 3.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 6 (x^{1} x^{1}) + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Schritt 3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 6 x^{1 + 1} + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Schritt 3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 6 x^{2} + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\int 6 x^{2} + 12 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\int 6 x^{2} + 12 x - 10 x - 5 \cdot 4 d x$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$\int 6 x^{2} + 12 x - 10 x - 20 d x$

Schritt 3.14

Subtrahiere $10 x$ von $12 x$ .

$\int 6 x^{2} + 2 x - 20 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 6 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

Schritt 5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x + \int - 20 d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 20 d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 20 x + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 20 x + C$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 20 x + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$2 x^{3} + x^{2} - 20 x + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (3 x - 5) (2 x + 4)$ .

$F (x) =$ $2 x^{3} + x^{2} - 20 x + C$