Analysis Beispiele

$f (x) = {(3 x - 2)}^{2}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(3 x - 2)}^{2} d x$

Schritt 3

Sei $u = 3 x - 2$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 3 x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{2} \frac{1}{3} d u$

Schritt 4

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{2}}{3} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int u^{2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3} u^{3} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{9} u^{3} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 2$ .

$\frac{1}{9} {(3 x - 2)}^{3} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(3 x - 2)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{9} {(3 x - 2)}^{3} + C$