Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}}{x^{6}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}}{x^{6}} d x$

Schritt 3

Bringe $x^{6}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

Schritt 4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\int (7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}) x^{- 6} d x$

Schritt 5

Multipliziere $(7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}) x^{- 6}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (7 - 4 x^{3}) x^{- 6} + 6 x^{6} x^{- 6} d x$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{3} x^{- 6} + 6 x^{6} x^{- 6} d x$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{3 - 6} + 6 x^{6} x^{- 6} d x$

Schritt 5.4

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 6 x^{6} x^{- 6} d x$

Schritt 5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 6 x^{6 - 6} d x$

Schritt 5.6

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 6 x^{0} d x$

Schritt 5.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 6 \cdot 1 d x$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 6 d x$

Schritt 5.9

Stelle $7 x^{- 6}$ und $- 4 x^{- 3}$ um.

$\int - 4 x^{- 3} + 7 x^{- 6} + 6 d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 4 x^{- 3} d x + \int 7 x^{- 6} d x + \int 6 d x$

Schritt 7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int 7 x^{- 6} d x + \int 6 d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 7 x^{- 6} d x + \int 6 d x$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 7 x^{- 6} d x + \int 6 d x$

Schritt 9.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 7 x^{- 6} d x + \int 6 d x$

Schritt 10

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 \int x^{- 6} d x + \int 6 d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 6}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 6 d x$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $x^{- 5}$ und $\frac{1}{5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 6 d x$

Schritt 12.2

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 6 d x$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 6 x + C$

Schritt 14

Vereinfache.

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{7}{5 x^{5}} + 6 x + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{7}{5 x^{5}} + 6 x + C$