Analysis Beispiele

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

Schritt 3

Sei $u_{2} = \cot (π x)$ . Dann ist $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ , folglich $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = \cot (π x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\cot (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 3.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 3.1.2.2

Die Ableitung von $\cot (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 3.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $π x$ .

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere.

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Schritt 3.1.3.1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.3.3.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$- \csc^{2} (π x) π$

Schritt 3.1.3.3.2

Stelle die Faktoren von $- \csc^{2} (π x) π$ um.

$- π \csc^{2} (π x)$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Schritt 4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $π$ aus $- π \cot (π x)$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Schritt 12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $e^{\cot (π x)}$ .

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ .

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$