Analysis Beispiele

$f (p) = 4 {(p^{2} - 7)}^{3} (2 p)$

Schritt 1

Die Funktion $F (p)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (p)$ ermittelt wird.

$F (p) = \int f (p) d p$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (p) = \int 4 {(p^{2} - 7)}^{3} (2 p) d p$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\int 8 {(p^{2} - 7)}^{3} p d p$

Schritt 4

Da $8$ konstant bezüglich $p$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int {(p^{2} - 7)}^{3} p d p$

Schritt 5

Sei $u = p^{2} - 7$ . Dann ist $d u = 2 p d p$ , folglich $\frac{1}{2} d u = p d p$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = p^{2} - 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d p}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $p^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d p} [p^{2} - 7]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $p^{2} - 7$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 7]$ .

$\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 p + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 5.1.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $p$ gleich $0$ .

$2 p + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $2 p$ und $0$ .

$2 p$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$8 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$8 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\frac{8}{2} \int u^{3} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int u^{3} d u$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int u^{3} d u$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} \int u^{3} d u$

Schritt 8.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \int u^{3} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe $4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ als $4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ um.

$4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

Schritt 10.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{4} + C$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $u^{4}$ mit $1$ .

$u^{4} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $p^{2} - 7$ .

${(p^{2} - 7)}^{4} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (p) = 4 {(p^{2} - 7)}^{3} (2 p)$ .

$F (p) =$ ${(p^{2} - 7)}^{4} + C$