Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{10}{x^{9}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{10}{x^{9}} d x$

Schritt 3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$10 \int \frac{1}{x^{9}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{9}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$10 \int {(x^{9})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{9})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \int x^{9 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$10 \int x^{- 9} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 9}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{8} x^{- 8}$ .

$10 (- \frac{1}{8} x^{- 8} + C)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $x^{- 8}$ und $\frac{1}{8}$ .

$10 (- \frac{x^{- 8}}{8} + C)$

Schritt 6.1.2

Bringe $x^{- 8}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{1}{8 x^{8}} + C)$

Schritt 6.2

Vereinfache.

$10 (- \frac{1}{8 x^{8}}) + C$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10 \frac{1}{8 x^{8}} + C$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{8 x^{8}}$ .

$\frac{- 10}{8 x^{8}} + C$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $8$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{2 (- 5)}{8 x^{8}} + C$

Schritt 6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{8}$ heraus.

$\frac{2 (- 5)}{2 (4 x^{8})} + C$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (4 x^{8})} + C$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5}{4 x^{8}} + C$

Schritt 6.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{4 x^{8}} + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{10}{x^{9}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{5}{4 x^{8}} + C$