Analysis Beispiele

$g (x) = - 4 \cos (4 x)$

Schritt 1

Die Funktion $G (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $g (x)$ ermittelt wird.

$G (x) = \int g (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$G (x) = \int - 4 \cos (4 x) d x$

Schritt 3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 4 \int \cos (4 x) d x$

Schritt 4

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 4.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 4 \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{4}$ .

$- 4 \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- 4 (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 4$ .

$\frac{- 4}{4} \int \cos (u) d u$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1}{4} \int \cos (u) d u$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int \cos (u) d u$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int \cos (u) d u$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} \int \cos (u) d u$

Schritt 7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int \cos (u) d u$

Schritt 8

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- (\sin (u) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$- \sin (u) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$- \sin (4 x) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $g (x) = - 4 \cos (4 x)$ .

$G (x) =$ $- \sin (4 x) + C$