Analysis Beispiele

$f (x) = 8 \sqrt{x} + 5 \cos (x)$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 8 \sqrt{x} + 5 \cos (x) d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 8 \sqrt{x} d x + \int 5 \cos (x) d x$

Schritt 4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int \sqrt{x} d x + \int 5 \cos (x) d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 5 \cos (x) d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 5 \cos (x) d x$

Schritt 7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$8 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \cos (x) d x$

Schritt 8

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$8 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 (\sin (x) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$8 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 8 \sqrt{x} + 5 \cos (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{16}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$