Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \sqrt{7 x^{2} + 2} d x$

Schritt 3

Sei $u = 7 x^{2} + 2$ . Dann ist $d u = 14 x d x$ , folglich $\frac{1}{14} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 7 x^{2} + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 2]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$14 x + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $14 x$ und $0$ .

$14 x$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{14} d u$

Schritt 4

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{14} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{14}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{14}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{14} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{14} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{14}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{14 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $14$ mit $3$ .

$\frac{2}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $42$ .

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Schritt 8.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $42$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$