Analysis Beispiele

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Schritt 1

Die Funktion $G (t)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $g (t)$ ermittelt wird.

$G (t) = \int g (t) d t$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$G (t) = \int \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 4

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Schritt 5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6

Multipliziere $(1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (1 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $t^{- \frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6.4

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6.8

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6.10

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6.11

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Schritt 6.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Schritt 6.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Schritt 6.13.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{3}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ .

$G (t) =$ $2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$