Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 6$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 \sqrt{x} + 6 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 \sqrt{x} d x + \int 6 d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sqrt{x} d x + \int 6 d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 6 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 6 d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 6 x + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 6 x + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 6 x + C$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 6 x + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 \sqrt{x} + 6$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 6 x + C$