Analysis Beispiele

$\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Schritt 4

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$10 \int \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Schritt 5

Sei $u = 3 - 5 x$ . Dann ist $d u = - 5 d x$ , folglich $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 3 - 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 5.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$0 - 5$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$- 5$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$10 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$10 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Schritt 6.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$10 (- \int \frac{1}{5 u^{2}} d u)$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Schritt 9

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- 10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 10$ .

$\frac{- 10}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 10.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $5$ .

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Schritt 10.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 2}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 10.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 10.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 10.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 10.1.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 10.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 10.2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 10.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 10.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 10.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \int u^{- 2} d u$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Schreibe $- 2 (- u^{- 1} + C)$ als $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ um.

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \frac{1}{u} + C$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{2}{u} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $3 - 5 x$ .

$\frac{2}{3 - 5 x} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3 - 5 x} + C$