Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x^{3} d x + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{3} d x + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 y^{3} x + C + \int - 6 x y d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C + \int - 6 x y d x$

Schritt 8

Da $- 6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6 y$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y \int x d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x - 6 y \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + y \frac{- 6 x^{2}}{2} + C$

Schritt 10.3.2

Kombiniere $y$ und $\frac{- 6 x^{2}}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{y (- 6 x^{2})}{2} + C$

Schritt 10.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 10.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $y (- 6 x^{2})$ heraus.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2} + C$

Schritt 10.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2 (1)} + C$

Schritt 10.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 10.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{y (- 3 x^{2})}{1} + C$

Schritt 10.3.3.2.4

Dividiere $y (- 3 x^{2})$ durch $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$

Schritt 10.4

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{4} x^{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$