Analysis Beispiele

$f (x) = 3 {(x^{2} - 9)}^{2} (2 x)$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3 {(x^{2} - 9)}^{2} (2 x) d x$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int 6 {(x^{2} - 9)}^{2} x d x$

Schritt 4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int {(x^{2} - 9)}^{2} x d x$

Schritt 5

Sei $u = x^{2} - 9$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Es sei $u = x^{2} - 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 5.1.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 \int u^{2} \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{2} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{2} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{2} d u$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{2} d u$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{2} d u$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} \int u^{2} d u$

Schritt 8.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \int u^{2} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ um.

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Schritt 10.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{3} + C$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $u^{3}$ mit $1$ .

$u^{3} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

${(x^{2} - 9)}^{3} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3 {(x^{2} - 9)}^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ ${(x^{2} - 9)}^{3} + C$