Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} - x - 1$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3 x^{2} - x - 1 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x^{2} d x + \int - x d x + \int - 1 d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{2} d x + \int - x d x + \int - 1 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - x d x + \int - 1 d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Schritt 9.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - x + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3 x^{2} - x - 1$ .

$F (x) =$ $x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x + C$