Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 8}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 8}$ als ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 8$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 1.1.10

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 1.1.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 1.1.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 1.1.11.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.11.5

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\sqrt{x^{2} + 8}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\sqrt{{(0)}^{2} + 8}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\sqrt{0 + 8}$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$\sqrt{8}$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.1.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{4 (2)}$

Schritt 4.1.2.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 2 \sqrt{2})$

Schritt 5