Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} + 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) (x + h) + 1}$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \sqrt{x (x + h) + h (x + h) + 1}$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h (x + h) + 1}$

Schritt 2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 1}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 1}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 1}$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 1}$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$

Schritt 2.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$ .

$\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1} - (\sqrt{x^{2} + 1})}{h}$

Schritt 4

Multipliziere $- 1$ mit $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 1}}{h}$

Schritt 5