Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h))$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2}$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2}$

Schritt 2.1.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 h x$ heraus.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2}$

Schritt 2.1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2}$

Schritt 2.1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2}$

Schritt 2.1.2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$

Schritt 2.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2}$

Schritt 2.2.2

Stelle $h x$ und $\frac{h^{2}}{2}$ um.

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{2}$ von $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 0}{h}$

Schritt 4.1.2

Addiere $\frac{h^{2}}{2} + h x$ und $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x}{h}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $h$ aus $\frac{h^{2}}{2} + h x$ heraus.

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $h$ aus $\frac{h^{2}}{2}$ heraus.

$\frac{h \frac{h}{2} + h x}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Faktorisiere $h$ aus $h x$ heraus.

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x)}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere $h$ aus $h (\frac{h}{2}) + h (x)$ heraus.

$\frac{h (\frac{h}{2} + x)}{h}$

Schritt 4.1.4

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x \cdot \frac{2}{2})}{h}$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + \frac{x \cdot 2}{2})}{h}$

Schritt 4.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{h \frac{h + x \cdot 2}{2}}{h}$

Schritt 4.1.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{h \frac{h + 2 x}{2}}{h}$

Schritt 4.2

Kombiniere $h$ und $\frac{h + 2 x}{2}$ .

$\frac{\frac{h (h + 2 x)}{2}}{h}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{h + 2 x}{2}$

Schritt 5