Analysis Beispiele

$g (x) = 3 \sqrt{x} + 2$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$g (x + h) = 3 \sqrt{x + h} + 2$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$g (x + h) = 3 \sqrt{x + h} + 2$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 \sqrt{x + h} + 2$ .

$3 \sqrt{x + h} + 2$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$g (x + h) = 3 \sqrt{x + h} + 2$

$g (x) = 3 \sqrt{x} + 2$

$g (x + h) = 3 \sqrt{x + h} + 2$

$g (x) = 3 \sqrt{x} + 2$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{g (x + h) - g x}{h} = \frac{3 \sqrt{x + h} + 2 - (3 \sqrt{x} + 2)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + h}$ als ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 - (3 \sqrt{x} + 2)}{h}$

Schritt 4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 - (3 x^{\frac{1}{2}} + 2)}{h}$

Schritt 4.3

Es sei $u = {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{3 u - 3 x^{\frac{1}{2}} + 0}{h}$

Schritt 4.3.2

Addiere $3 u - 3 x^{\frac{1}{2}}$ und $0$ .

$\frac{3 u - 3 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $3$ aus $3 u - 3 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u$ heraus.

$\frac{3 (u) - 3 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{3 (u) + 3 (- x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (u) + 3 (- x^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{3 (u - x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Schritt 4.5

Ersetze alle $u$ durch ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Schritt 5