Analysis Beispiele

$f (x) = x \ln (x) - x$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = (x + h) \ln (x + h) - (x + h)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$ .

$x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$x \ln (h + x) + h \ln (x + h) - x - h$

Schritt 2.2.2

Stelle $x$ und $h$ um.

$x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x - h$

Schritt 2.2.3

Bewege $h \ln (h + x)$ .

$x \ln (h + x) - x - h + h \ln (h + x)$

Schritt 2.2.4

Bewege $x \ln (h + x)$ .

$- x - h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

Schritt 2.2.5

Stelle $- x$ und $- h$ um.

$- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

$f (x) = (x) \ln (x) - x$

$f (x + h) = - h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

$f (x) = (x) \ln (x) - x$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - ((x) \ln (x) - x)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - ((x) \ln (x)) - - x}{h}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + 1 x}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + x}{h}$

Schritt 4.1.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + 0}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x)$ und $0$ .

$\frac{- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x \ln (h + x)$ heraus.

$\frac{- h - (- x \ln (h + x)) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- h - (- x \ln (h + x))$ heraus.

$\frac{- (h - x \ln (h + x)) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $h \ln (h + x)$ heraus.

$\frac{- (h - x \ln (h + x)) - (- h \ln (h + x)) - x \ln (x)}{h}$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (h - x \ln (h + x)) - (- h \ln (h + x))$ heraus.

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - x \ln (x)}{h}$

Schritt 4.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \ln (x)$ heraus.

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - (x \ln (x))}{h}$

Schritt 4.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - (x \ln (x))$ heraus.

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))}{h}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.7.1

Schreibe $- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))$ als $- 1 (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))$ um.

$\frac{- 1 (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))}{h}$

Schritt 4.2.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x)}{h}$

Schritt 5