Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{2}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{2}{x^{2}})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{2}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{2}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{2}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x^{2}}$ mit $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von ${(x + h)}^{2} x^{2}$ um.

$\frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x^{2} - 2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 2 {(x + h)}^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{2 (x^{2}) - 2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 {(x + h)}^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{2 (x^{2}) + 2 (- {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ heraus.

$\frac{\frac{2 (x^{2} - {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = x + h$ .

$\frac{\frac{2 ((x + x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.3.1

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 ((2 x + h) (x - x - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + h) (0 - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.4

Subtrahiere $h$ von $0$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + h) \cdot - 1 h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{\frac{2 (- ((2 x + h) h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1.5.4.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{\frac{- (2 (2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{- 2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 2 (2 x + h) h$ heraus.

$\frac{h (- 2 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (- 2 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Schritt 5