Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) - 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h - 1}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{x + h - 1}$ .

$\frac{1}{x + h - 1}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{x + h - 1} - (\frac{1}{x - 1})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Um $\frac{1}{x + h - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{1}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h - 1) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + h - 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x + h - 1}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + h - 1)$ um.

$\frac{\frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x - 1 - (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{x - 1 - (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x - 1 - x - h - - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{x - 1 - x - h + 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{\frac{0 - 1 - h + 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\frac{- 1 - h + 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{\frac{- h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Addiere $- h$ und $0$ .

$\frac{\frac{- h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ in den Zähler.

$\frac{- h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 5