Analysis Beispiele

$f (x) = 9 x^{4} - 82 x^{2} + 9$

Schritt 1

Setze $9 x^{4} - 82 x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$9 x^{4} - 82 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$9 u^{2} - 82 u + 9 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 9 = 81$ und deren Summe gleich $b = - 82$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 82$ aus $- 82 u$ heraus.

$9 u^{2} - 82 u + 9 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 82$ um als $- 1$ plus $- 81$

$9 u^{2} + (- 1 - 81) u + 9 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 u^{2} - 1 u - 81 u + 9 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 u^{2} - 1 u) - 81 u + 9 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (9 u - 1) - 9 (9 u - 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 9) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u - 9 = 0$

Schritt 2.4

Setze $9 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $9 u - 1$ gleich $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $9 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 u = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 u = 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 u = 1$ durch $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Schritt 2.5

Setze $u - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $u - 9$ gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 9$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(9 u - 1) (u - 9) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{9}, 9$

Schritt 2.7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{1}{9}$

${(x^{2})}^{1} = 9$

Schritt 2.8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Schritt 2.9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Schritt 2.9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Schritt 2.9.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{9}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Schritt 2.9.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Schritt 2.9.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.9.2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 2.9.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Schritt 2.9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 2.9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Schritt 2.10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 9$

Schritt 2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 9$

Schritt 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 2.11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 2.11.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.11.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 2.11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 2.11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 2.11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 2.12

Die Lösung von $9 x^{4} - 82 x^{2} + 9 = 0$ ist $x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, 3, - 3$ .

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, 3, - 3$

Schritt 3